Geo-Gebra-Werkstatt

In dieser kleinen GeoGe­bra-Werk­statt ler­nen wir anhand weniger typ­is­ch­er Prob­leme grundle­gende Arbeitsweisen in GeoGe­bra. Für all­ge­meine Anleitun­gen zu GeoGe­bra (Instal­la­tion, Bedi­enele­mente usw.) und reich­haltige Mate­ri­al­samm­lun­gen besuche man die Seit­en von GeoGe​bra​.org.

GeoGe­bra-Kur­sus

1. Analysis

Aufgabenstellung

Ermit­tle, für welchen Wert von a die Funk­tion f_a(x)=\frac{x-2}{10(a-x)}  an der Stelle 5 eine Nor­male mit der Stei­gung -5 hat. Bilde außer­dem die Ableitungs­funk­tion von f.

Herangehensweise

  1. Die richtige Ansicht wählen:
    Über das Menü Ansicht sollte man die Grafik-Ansicht (nicht Grafik 2) und die Alge­bra-Ansicht aktivieren. Mit einem Recht­sklick im Grafik-Bere­ich erscheint ein Menü, mit dessen Hil­fe man Koor­di­naten­git­ter und -achsen ein- oder aus­blenden kann.
  2. Den Funk­tion­spa­ra­me­ter mit einem Schiebere­gler verän­der­bar gestal­ten:
    Zunächst fügt man einen Schiebere­gler ein (zweite Schalt­fläche von rechts mit der Kennze­ich­nung a=2). Man kann diverse Eigen­schaften fes­tle­gen, mit denen man auch ein wenig herum­ex­per­i­men­tieren sollte.
  3. Die Funk­tio­nen­schar eingeben:
    In die Einga­beleiste unten (ggf. im Menü Ansicht ein­blenden) gibt man fol­gende Zeichen­folge ein: f_a(x)=(x – 2)/(10 (a – x)). Wichtig sind hier die Klam­mern, son­st ver­ste­ht GeoGe­bra nicht, was im Bruch im Zäh­ler bzw. Nen­ner ste­hen soll. Wie man sieht, kann man den Index mit einem geschützten Leerze­ichen _​ abtren­nen. Sollen mehrere Zeichen in den Index, ver­wen­det man {geschweifte Klam­mern}.
  4. Einen Punkt auf f mit x=5 fes­tle­gen:
    Man kann natür­lich mith­il­fe der zweit­en Schalt­fläche von links ganz ein­fach einen Punkt auf dem Funk­tion­s­graphen entste­hen lassen. Lei­der wird man es je nach Funk­tion schw­er haben, den Punkt exakt bei x=5 zu platzieren. Präzis­er ist es, wenn man fol­gen­des in die Eingabezeile schreibt: P=(5,f_a(5)).
  5. Zuerst eine Tan­gente kon­stru­ieren:
    GeoGe­bra kann nicht direkt eine Nor­male an einem Funk­tion­s­graphen bauen, daher müssen wir den Umweg über eine Tan­gente gehen. Man gibt entwed­er die Zeichen­folge Tangente[P, f_​a] in die Eingabezeile ein oder benutzt die vierte Schalt­fläche von links (Tan­gente im Schalt­flächen-Menü auswählen). Die Tan­gente, die im Moment noch irgen­deinen Buch­staben als Namen hat, benen­nen wir im Alge­bra-Fen­ster ein­fach in Tan­gente um.
  6. Nun die Nor­male kon­stru­ieren:
    Man kann auch hier entwed­er wieder die Eingabezeile oder eine Schalt­fläche (vierte von links) benutzen. Die Eingabe lautet Senkrechte[P,Tangente].
  7. Ansicht­en anpassen:
    Man kann nun die Tan­gente unsicht­bar machen, indem man auf den blauen Kreis vor der Tan­gen­ten­gle­ichung im Alge­bra-Fen­ster klickt. Alter­na­tiv: Recht­sklick auf die Tan­gente im Grafik-Fen­ster, Objekt anzeigen abwählen.
    Außer­dem möchte man vielle­icht die Nor­male in der Form y=mx+b anzeigen lassen. Dies gelingt nach einem Recht­sklick auf die Gle­ichung im Alge­bra-Fen­ster und der entsprechen­den Menü-Auswahl.
  8. Gesucht­en Wert find­en:
    Nun manip­uliert man solange am Schiebere­gler herum, bis man den gesucht­en Wert find­et. 🙂
  9. Ableitung bilden:
    Das ist nun äußerst ein­fach. Man schreibt schnell in die Eingabezeile Ableitung[f_a]. Das war’s.

So sollte es am Ende ausse­hen:

Fer­tige GeoGe­bra-Datei Analy­sis

GeoGe­bra-Kur­sus

 2. Analytische Geometrie I

Aufgabenstellung

Die Ebene E ver­laufe durch die drei Punk­te A (0| 0| 1), B (4| 0| 1),  C (4| 5| 0). Die Ebene F habe die Gle­ichung 4x-z=-2. Bes­timme eine Gle­ichung der Schnittger­aden sowie den Winkel zwis­chen E und F.

Herangehensweise

  1. Ansicht ein­stellen:
    Für diese Auf­gabe benöti­gen wir die 3D-Ansicht. Man wäh­le also diese im Ansichts-Menü und wäh­le ggf. die nor­male Grafik-Ansicht etc. ab. Die Alge­bra-Ansicht sollte jedoch erhal­ten bleiben.
  2. Ebene E eingeben:
    Die Ebene E kann man ein­fach in der Eingabezeile eingeben. Die Eingabezeile kann man, falls sie nicht zu sehen ist, über das Ansichts-Menü aktivieren. Man begin­nt das Wort Ebene zu tip­pen, dann wird schon die Möglichkeit ange­boten, drei Punk­te einzugeben. Die kom­plette Zeile lautet dann: Ebene[(0, 0, 1), (4, 0, 1), (4, 5, 0)]. Die Ebene wird sofort in der 3D-Ansicht angezeigt. Die Ansicht kann man mit gedrück­ter rechter Maus­taste leicht drehen. Wer schnell ver­wirrt ist, welche Achse welche ist, kann an eine leere Stelle in der 3D-Ansicht klick­en, im Menü unten den Punkt Grafik… aufrufen und im erscheinen­den Fen­ster bei den Achsen die Beschrif­tung aktivieren.
  3. Ebene F eingeben:
    Liegt eine Ebene in Koor­di­naten­form vor, ist die Eingabe sehr ein­fach. Man muss lediglich die Gle­ichung in die Eingabezeile schreiben. Um sicherzustellen, dass die Ebene den Namen F trägt, gibt man vor der Gle­ichung F: ein. Nun sollte auch diese Ebene sicht­bar sein.
  4. Schnittger­ade bes­tim­men lassen:
    Die Eingabe Schneide[E,F] erzeugt die Schnittger­ade. Wie man möglicher­weise sieht, ist die Darstel­lung im Alge­bra-Fen­ster nicht opti­mal. Für eine Weit­er­be­nutzung der Ger­ade sollte man ggf. den Rich­tungsvek­tor mit ein­er geeigneten Zahl mul­ti­plizieren, damit der Vek­tor angenehmer wird.
    Einen schöneren Stützvek­tor kann man bekom­men, indem man einen Punkt auf der Schnittger­aden platziert (zweite Schalt­fläche von links) und diesen auf der Ger­ade etwas hin und her schiebt, bis man einen schöneren Punkt erhält. Lei­der erwis­cht man damit nicht unbe­d­ingt exakt die „schö­nen” Punk­te, son­dern Punk­te, deren Koor­di­nat­en viele unbe­queme Kom­mas­tellen haben. Daher muss man unter Umstän­den ein wenig selb­st rech­nen.
  5. Schnit­twinkel bes­tim­men lassen:
    Das ist nun wieder sehr ein­fach. Man muss nur in die Eingabezeile tip­pen: Winkel[F, E].

So sollte es am Ende ausse­hen:

Fer­tige GeoGe­bra-Datei Ana­lytis­che Geome­trie I

GeoGe­bra-Kur­sus

3. Analytische Geometrie II

Aufgabenstellung

Über­prüfe, welche Lage­beziehung die Ebe­nen der Schar Ea: 2ax+2y+(2-a)z=5a+2 zueinan­der haben und bes­timme den Schnittpunkt der Ger­aden g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\2 \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 0 \\ -2\\ 3 \end{array}\right) mit E_2.

Herangehensweise

  1. Ansicht ein­stellen:
    Für diese Auf­gabe benöti­gen wir die 3D-Ansicht. Man wäh­le also diese im Ansichts-Menü und wäh­le ggf. die nor­male Grafik-Ansicht etc. ab. Die Alge­bra-Ansicht sollte jedoch erhal­ten bleiben.
    Für die Ebe­nen­schar benöti­gen wir aber auch einen Schiebere­gler. Diesen kann man nicht in der 3D-Ansicht unter­brin­gen. Daher brauchen wir eine nor­male Grafik-Ansicht. Diese kann man aber platzs­parend unter die Alge­bra-Ansicht schieben.
  2. Schiebere­gler erstellen:
    Den Schiebere­gler erstellen wir wie bere­its angedeutet, im Grafik-Fen­ster. Wenn man möchte, dass nur ganze Zahlen benutzt wer­den, kann man das in den Schiebere­gler-Ein­stel­lun­gen auswählen.
  3. Ebe­nen­schar auf­stellen:
    Nun geht man wieder in das 3D-Fen­ster und schreibt in die Eingabezeile (ggf. im Menü Ansicht ein­blenden) E_​a: 2a x + 2y + (2 – a) z = 5a + 2. Jet­zt kann man mith­il­fe des Schiebere­glers die Ebe­nen­schar durchge­hen.
  4. Lage­beziehung fest­stellen:
    Man sieht recht schnell, dass die Ebe­nen wohl nicht par­al­lel zueinan­der sind. Aber man muss schon sehr viel Glück haben, um zu sehen, dass es ein Ebe­nen­büschel ist. Um ein­ben entsprechen­den Ver­dacht zu bestäti­gen, kon­stru­iert man ein­fach eine zweite Ebe­nen­schar E_​b: 2b x + 2y + (2 – b) z = 5b + 2, die E_a gle­icht (Schiebere­gler nicht vergessen!). Wenn man nun bei E_a und E_b den Para­me­tern andere Werte gibt, kann man sich über den Befehl Schneide[E_a,E_b] die Schnittger­ade kon­stru­ieren lassen. Und tat­säch­lich gibt es eine! 🙂
    Wie man möglicher­weise sieht, ist die Darstel­lung im Alge­bra-Fen­ster nicht opti­mal. Für eine Weit­er­be­nutzung der Ger­ade sollte man ggf. den Rich­tungsvek­tor mit ein­er geeigneten Zahl mul­ti­plizieren, damit der Vek­tor angenehmer wird.
    Einen schöneren Stützvek­tor kann man bekom­men, indem man einen Punkt auf der Schnittger­aden platziert (zweite Schalt­fläche von links) und diesen auf der Ger­ade etwas hin und her schiebt, bis man einen schöneren Punkt erhält. Lei­der erwis­cht man damit nicht unbe­d­ingt exakt die „schö­nen” Punk­te, son­dern Punk­te, deren Koor­di­nat­en viele unbe­queme Kom­mas­tellen haben. Daher muss man unter Umstän­den ein wenig selb­st rech­nen.
  5. Ger­aden­gle­ichung eingeben:
    Vor­sicht! Vek­toren muss man in GeoGe­bra immer als solche kennze­ich­nen. Daher muss man fol­gen­des in die Eingabezeile schreiben: Gerade[(1, 0, 2), Vektor[(0, -2, 3)]]. Nur dann wir die Ger­ade kor­rekt kon­stru­iert. Die Ger­ade benen­nen wir in g um.
  6. Schnittpunkt berech­nen lassen:
    Zunächst stellen wir mit dem Schiebere­gler a auf 2. Mit dem Befehl Schneide[E_a, g] erhal­ten wir nun den gesucht­en Schnittpunkt.

So sollte es am Ende ausse­hen:

Fer­tige GeoGe­bra-Datei Ana­lytis­che Geome­trie II

GeoGe­bra-Kur­sus

4. Stochastik

Aufgabenstellung

Bes­timme die Wahrschein­lichkeit dafür, dass bei 100 Wür­fen mit einem nor­malen Wür­fel min­destens 12 mal und höch­stens 20 mal eine 6 gewür­felt wird.

Herangehensweise

  1. Ansicht ein­stellen:
    Für diese Auf­gabe benöti­gen wir den Wahrschein­lichkeit­srech­n­er, den man im Menü Ansicht auswählen kann. Er öffnet sich in einem eige­nen Fen­ster.
  2. Verteilung ein­stellen:
    Nachvol­lziehbar­erweise benöti­gen wir hier die Bino­mi­alverteilung, also soll­ten wir das unten links in dem Drop­down-Menü ein­stellen.
  3. Para­me­ter eingeben:
    Wir wählen natür­lich n=100 und p=1/6.
  4. Nun ist es wichtig, dass man in dem Bere­ich unter­halb von n die Vari­ante wählt, bei der man Ober- und Unter­gren­ze eingeben kann.
    Nun gibt man die Gren­zen ein, näm­lich 12 und 20. Sofort gibt GeoGe­bra das Ergeb­nis her­aus, näm­lich 0,7703. Außer­dem erhält man eine wun­der­bare Balk­endarstel­lung, die für die Ver­an­schaulichung sehr nüt­zlich ist.

So sollte es am Ende ausse­hen:

Fer­tige GeoGe­bra-Datei Sto­chastik

GeoGebra-Kursus

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