Geo-Gebra-Werkstatt

In die­ser klei­nen Geo­Ge­bra-Werk­statt ler­nen wir anhand weni­ger typi­scher Pro­ble­me grund­le­gen­de Arbeits­wei­sen in Geo­Ge­bra. Für all­ge­mei­ne Anlei­tun­gen zu Geo­Ge­bra (Instal­la­ti­on, Bedien­ele­men­te usw.) und reich­hal­ti­ge Mate­ri­al­samm­lun­gen besu­che man die Sei­ten von Geo​Ge​bra​.org.

Ana­ly­sis

1. Analysis

Aufgabenstellung

Ermitt­le, für wel­chen Wert von a die Funk­ti­on f_a(x)=\frac{x-2}{10(a-x)}  an der Stel­le 5 eine Nor­ma­le mit der Stei­gung ‑5 hat. Bil­de außer­dem die Ablei­tungs­funk­ti­on von f.

Herangehensweise

  1. Die rich­ti­ge Ansicht wäh­len:
    Über das Menü Ansicht soll­te man die Gra­fik-Ansicht (nicht Gra­fik 2) und die Alge­bra-Ansicht akti­vie­ren. Mit einem Rechtsklick im Gra­fik-Bereich erscheint ein Menü, mit des­sen Hil­fe man Koor­di­na­ten­git­ter und ‑ach­sen ein- oder aus­blen­den kann.
  2. Den Funk­ti­ons­pa­ra­me­ter mit einem Schie­be­reg­ler ver­än­der­bar gestal­ten:
    Zunächst fügt man einen Schie­be­reg­ler ein (zwei­te Schalt­flä­che von rechts mit der Kenn­zeich­nung a=2). Man kann diver­se Eigen­schaf­ten fest­le­gen, mit denen man auch ein wenig her­um­ex­pe­ri­men­tie­ren soll­te.
  3. Die Funk­tio­nen­schar ein­ge­ben:
    In die Ein­ga­be­leis­te unten (ggf. im Menü Ansicht ein­blen­den) gibt man fol­gen­de Zei­chen­fol­ge ein: f_a(x)=(x – 2)/(10 (a – x)). Wich­tig sind hier die Klam­mern, sonst ver­steht Geo­Ge­bra nicht, was im Bruch im Zäh­ler bzw. Nen­ner ste­hen soll. Wie man sieht, kann man den Index mit einem geschütz­ten Leer­zei­chen _​ abtren­nen. Sol­len meh­re­re Zei­chen in den Index, ver­wen­det man {geschweif­te Klam­mern}.
  4. Einen Punkt auf f mit x=5 fest­le­gen:
    Man kann natür­lich mit­hil­fe der zwei­ten Schalt­flä­che von links ganz ein­fach einen Punkt auf dem Funk­ti­ons­gra­phen ent­ste­hen las­sen. Lei­der wird man es je nach Funk­ti­on schwer haben, den Punkt exakt bei x=5 zu plat­zie­ren. Prä­zi­ser ist es, wenn man fol­gen­des in die Ein­ga­be­zei­le schreibt: P=(5,f_a(5)).
  5. Zuerst eine Tan­gen­te kon­stru­ie­ren:
    Geo­Ge­bra kann nicht direkt eine Nor­ma­le an einem Funk­ti­ons­gra­phen bau­en, daher müs­sen wir den Umweg über eine Tan­gen­te gehen. Man gibt ent­we­der die Zei­chen­fol­ge Tangente[P, f_​a] in die Ein­ga­be­zei­le ein oder benutzt die vier­te Schalt­flä­che von links (Tan­gen­te im Schalt­flä­chen-Menü aus­wäh­len). Die Tan­gen­te, die im Moment noch irgend­ei­nen Buch­sta­ben als Namen hat, benen­nen wir im Alge­bra-Fens­ter ein­fach in Tan­gen­te um.
  6. Nun die Nor­ma­le kon­stru­ie­ren:
    Man kann auch hier ent­we­der wie­der die Ein­ga­be­zei­le oder eine Schalt­flä­che (vier­te von links) benut­zen. Die Ein­ga­be lau­tet Senkrechte[P,Tangente].
  7. Ansich­ten anpas­sen:
    Man kann nun die Tan­gen­te unsicht­bar machen, indem man auf den blau­en Kreis vor der Tan­gen­ten­glei­chung im Alge­bra-Fens­ter klickt. Alter­na­tiv: Rechtsklick auf die Tan­gen­te im Gra­fik-Fens­ter, Objekt anzei­gen abwäh­len.
    Außer­dem möch­te man viel­leicht die Nor­ma­le in der Form y=mx+b anzei­gen las­sen. Dies gelingt nach einem Rechtsklick auf die Glei­chung im Alge­bra-Fens­ter und der ent­spre­chen­den Menü-Aus­wahl.
  8. Gesuch­ten Wert fin­den:
    Nun mani­pu­liert man solan­ge am Schie­be­reg­ler her­um, bis man den gesuch­ten Wert fin­det. 🙂
  9. Ablei­tung bil­den:
    Das ist nun äußerst ein­fach. Man schreibt schnell in die Ein­ga­be­zei­le Ableitung[f_a]. Das war’s.

So soll­te es am Ende aus­se­hen:

Fer­ti­ge Geo­Ge­bra-Datei Ana­ly­sis

Ana­ly­ti­sche Geo­me­trie: Schnitt­ge­ra­de und Win­kel

 2. Analytische Geometrie I

Aufgabenstellung

Die Ebe­ne E ver­lau­fe durch die drei Punk­te A (0| 0| 1), B (4| 0| 1),  C (4| 5| 0). Die Ebe­ne F habe die Glei­chung 4x‑z=-2. Bestim­me eine Glei­chung der Schnitt­ge­ra­den sowie den Win­kel zwi­schen E und F.

Herangehensweise

  1. Ansicht ein­stel­len:
    Für die­se Auf­ga­be benö­ti­gen wir die 3D-Ansicht. Man wäh­le also die­se im Ansichts-Menü und wäh­le ggf. die nor­ma­le Gra­fik-Ansicht etc. ab. Die Alge­bra-Ansicht soll­te jedoch erhal­ten blei­ben.
  2. Ebe­ne E ein­ge­ben:
    Die Ebe­ne E kann man ein­fach in der Ein­ga­be­zei­le ein­ge­ben. Die Ein­ga­be­zei­le kann man, falls sie nicht zu sehen ist, über das Ansichts-Menü akti­vie­ren. Man beginnt das Wort Ebe­ne zu tip­pen, dann wird schon die Mög­lich­keit ange­bo­ten, drei Punk­te ein­zu­ge­ben. Die kom­plet­te Zei­le lau­tet dann: Ebene[(0, 0, 1), (4, 0, 1), (4, 5, 0)]. Die Ebe­ne wird sofort in der 3D-Ansicht ange­zeigt. Die Ansicht kann man mit gedrück­ter rech­ter Maus­tas­te leicht dre­hen. Wer schnell ver­wirrt ist, wel­che Ach­se wel­che ist, kann an eine lee­re Stel­le in der 3D-Ansicht kli­cken, im Menü unten den Punkt Gra­fik… auf­ru­fen und im erschei­nen­den Fens­ter bei den Ach­sen die Beschrif­tung akti­vie­ren.
  3. Ebe­ne F ein­ge­ben:
    Liegt eine Ebe­ne in Koor­di­na­ten­form vor, ist die Ein­ga­be sehr ein­fach. Man muss ledig­lich die Glei­chung in die Ein­ga­be­zei­le schrei­ben. Um sicher­zu­stel­len, dass die Ebe­ne den Namen F trägt, gibt man vor der Glei­chung F: ein. Nun soll­te auch die­se Ebe­ne sicht­bar sein.
  4. Schnitt­ge­ra­de bestim­men las­sen:
    Die Ein­ga­be Schneide[E,F] erzeugt die Schnitt­ge­ra­de. Wie man mög­li­cher­wei­se sieht, ist die Dar­stel­lung im Alge­bra-Fens­ter nicht opti­mal. Für eine Wei­ter­be­nut­zung der Gera­de soll­te man ggf. den Rich­tungs­vek­tor mit einer geeig­ne­ten Zahl mul­ti­pli­zie­ren, damit der Vek­tor ange­neh­mer wird.
    Einen schö­ne­ren Stütz­vek­tor kann man bekom­men, indem man einen Punkt auf der Schnitt­ge­ra­den plat­ziert (zwei­te Schalt­flä­che von links) und die­sen auf der Gera­de etwas hin und her schiebt, bis man einen schö­ne­ren Punkt erhält. Lei­der erwischt man damit nicht unbe­dingt exakt die „schö­nen” Punk­te, son­dern Punk­te, deren Koor­di­na­ten vie­le unbe­que­me Kom­ma­stel­len haben. Daher muss man unter Umstän­den ein wenig selbst rech­nen.
  5. Schnitt­win­kel bestim­men las­sen:
    Das ist nun wie­der sehr ein­fach. Man muss nur in die Ein­ga­be­zei­le tip­pen: Winkel[F, E].

So soll­te es am Ende aus­se­hen:

Fer­ti­ge Geo­Ge­bra-Datei Ana­ly­ti­sche Geo­me­trie I

Ana­ly­ti­sche Geo­me­trie: Ebe­nen­scha­ren

3. Analytische Geometrie II

Aufgabenstellung

Über­prü­fe, wel­che Lage­be­zie­hung die Ebe­nen der Schar Ea: 2ax+2y+(2-a)z=5a+2 zuein­an­der haben und bestim­me den Schnitt­punkt der Gera­den g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\2 \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 0 \\ -2\\ 3 \end{array}\right) mit E_2.

Herangehensweise

  1. Ansicht ein­stel­len:
    Für die­se Auf­ga­be benö­ti­gen wir die 3D-Ansicht. Man wäh­le also die­se im Ansichts-Menü und wäh­le ggf. die nor­ma­le Gra­fik-Ansicht etc. ab. Die Alge­bra-Ansicht soll­te jedoch erhal­ten blei­ben.
    Für die Ebe­nen­schar benö­ti­gen wir aber auch einen Schie­be­reg­ler. Die­sen kann man nicht in der 3D-Ansicht unter­brin­gen. Daher brau­chen wir eine nor­ma­le Gra­fik-Ansicht. Die­se kann man aber platz­spa­rend unter die Alge­bra-Ansicht schie­ben.
  2. Schie­be­reg­ler erstel­len:
    Den Schie­be­reg­ler erstel­len wir wie bereits ange­deu­tet, im Gra­fik-Fens­ter. Wenn man möch­te, dass nur gan­ze Zah­len benutzt wer­den, kann man das in den Schie­be­reg­ler-Ein­stel­lun­gen aus­wäh­len.
  3. Ebe­nen­schar auf­stel­len:
    Nun geht man wie­der in das 3D-Fens­ter und schreibt in die Ein­ga­be­zei­le (ggf. im Menü Ansicht ein­blen­den) E_​a: 2a x + 2y + (2 – a) z = 5a + 2. Jetzt kann man mit­hil­fe des Schie­be­reg­lers die Ebe­nen­schar durch­ge­hen.
  4. Lage­be­zie­hung fest­stel­len:
    Man sieht recht schnell, dass die Ebe­nen wohl nicht par­al­lel zuein­an­der sind. Aber man muss schon sehr viel Glück haben, um zu sehen, dass es ein Ebe­nen­bü­schel ist. Um ein­ben ent­spre­chen­den Ver­dacht zu bestä­ti­gen, kon­stru­iert man ein­fach eine zwei­te Ebe­nen­schar E_​b: 2b x + 2y + (2 – b) z = 5b + 2, die E_a gleicht (Schie­be­reg­ler nicht ver­ges­sen!). Wenn man nun bei E_a und E_b den Para­me­tern ande­re Wer­te gibt, kann man sich über den Befehl Schneide[E_a,E_b] die Schnitt­ge­ra­de kon­stru­ie­ren las­sen. Und tat­säch­lich gibt es eine! 🙂
    Wie man mög­li­cher­wei­se sieht, ist die Dar­stel­lung im Alge­bra-Fens­ter nicht opti­mal. Für eine Wei­ter­be­nut­zung der Gera­de soll­te man ggf. den Rich­tungs­vek­tor mit einer geeig­ne­ten Zahl mul­ti­pli­zie­ren, damit der Vek­tor ange­neh­mer wird.
    Einen schö­ne­ren Stütz­vek­tor kann man bekom­men, indem man einen Punkt auf der Schnitt­ge­ra­den plat­ziert (zwei­te Schalt­flä­che von links) und die­sen auf der Gera­de etwas hin und her schiebt, bis man einen schö­ne­ren Punkt erhält. Lei­der erwischt man damit nicht unbe­dingt exakt die „schö­nen” Punk­te, son­dern Punk­te, deren Koor­di­na­ten vie­le unbe­que­me Kom­ma­stel­len haben. Daher muss man unter Umstän­den ein wenig selbst rech­nen.
  5. Gera­den­glei­chung ein­ge­ben:
    Vor­sicht! Vek­to­ren muss man in Geo­Ge­bra immer als sol­che kenn­zeich­nen. Daher muss man fol­gen­des in die Ein­ga­be­zei­le schrei­ben: Gerade[(1, 0, 2), Vektor[(0, ‑2, 3)]]. Nur dann wir die Gera­de kor­rekt kon­stru­iert. Die Gera­de benen­nen wir in g um.
  6. Schnitt­punkt berech­nen las­sen:
    Zunächst stel­len wir mit dem Schie­be­reg­ler a auf 2. Mit dem Befehl Schneide[E_a, g] erhal­ten wir nun den gesuch­ten Schnitt­punkt.

So soll­te es am Ende aus­se­hen:

Fer­ti­ge Geo­Ge­bra-Datei Ana­ly­ti­sche Geo­me­trie II

Sto­chas­tik

4. Stochastik

Aufgabenstellung

Bestim­me die Wahr­schein­lich­keit dafür, dass bei 100 Wür­fen mit einem nor­ma­len Wür­fel min­des­tens 12 mal und höchs­tens 20 mal eine 6 gewür­felt wird.

Herangehensweise

  1. Ansicht ein­stel­len:
    Für die­se Auf­ga­be benö­ti­gen wir den Wahr­schein­lich­keits­rech­ner, den man im Menü Ansicht aus­wäh­len kann. Er öff­net sich in einem eige­nen Fens­ter.
  2. Ver­tei­lung ein­stel­len:
    Nach­voll­zieh­ba­rer­wei­se benö­ti­gen wir hier die Bino­mi­al­ver­tei­lung, also soll­ten wir das unten links in dem Drop­down-Menü ein­stel­len.
  3. Para­me­ter ein­ge­ben:
    Wir wäh­len natür­lich n=100 und p=1/6.
  4. Nun ist es wich­tig, dass man in dem Bereich unter­halb von n die Vari­an­te wählt, bei der man Ober- und Unter­gren­ze ein­ge­ben kann.
    Nun gibt man die Gren­zen ein, näm­lich 12 und 20. Sofort gibt Geo­Ge­bra das Ergeb­nis her­aus, näm­lich 0,7703. Außer­dem erhält man eine wun­der­ba­re Bal­ken­dar­stel­lung, die für die Ver­an­schau­li­chung sehr nütz­lich ist.

So soll­te es am Ende aus­se­hen:

Fer­ti­ge Geo­Ge­bra-Datei Sto­chas­tik

GeoGebra-Kursus

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