Mathematik Q4

Grundkurs: Kreise und Kugeln (Stand: 2017)

Kreis Vektor irgendwoAls Fort­set­zung der Vek­tor­rech­nung befasst sich die­ses The­ma mit Krei­sen im zwei­di­men­sio­na­len Raum, deren diver­sen Eigen­schaf­ten und mit Lage­be­zie­hun­gen zu Gera­den. Dann geht es in den drei­di­men­sio­na­len Raum und man betrach­tet die Eigen­schaf­ten von Kugeln und unter­sucht die Lage­be­zie­hun­gen zu Gera­den, Ebe­nen und von Kugeln unter­ein­an­der.

 

PDFs zu Krei­sen und Kugeln

Kreise und Kugeln GeoGebraAlle Anga­ben auf den Blät­tern sind prin­zi­pi­ell ohne Gewähr. Die Auf­ga­ben bezie­hen sich auf das Buch„Cornelsen Mathe­ma­tik 12.2 LK” (Hes­sen) aus 2001.

Alle Blät­ter dür­fen nach Belie­ben her­un­ter­ge­la­den und von Lehr­kräf­ten im Unter­richt benutzt wer­den, aber bit­te mit Quel­len­an­ga­be.

 

Geo­Ge­bra-Datei­en (Ver­si­on 5 not­wen­dig):

Kreis­ma­ni­pu­la­tor

Kugel- und Ebe­nen­ma­ni­pu­la­tor

Aste­roi­den-Ein­schlag

Kahoot-Quiz

Ers­tes Quiz zu Abi-The­men (erstellt 2019)

Leistungskurs: Lineare Abbildungen und Determinanten (Stand: 2016)

PDF zu Linea­ren Abbil­dun­gen und Deter­mi­nan­ten

»> Link zu einer Geo­Ge­bra-Datei von Horst Ben­ne­mann zu linea­ren Abbil­dun­gen

Komplexe Zahlen

Ein­füh­rung

Kom­ple­xe Zah­len \mathbb{C} sind die den reel­len Zah­len am nächs­ten über­ge­ord­ne­te Zah­len­men­ge, das heißt, sie ent­hal­ten alle reel­len Zah­len (und natür­lich auch die ratio­na­len, die gan­zen und natür­li­chen). Im Gegen­satz zu den  ande­ren uns bis­her bekann­ten Zah­len sind sie nicht ein­di­men­sio­nal, son­dern zwei­di­men­sio­nal.

Es gibt den Real­teil, der aus einer reel­len Zahl besteht, und den Ima­gi­när­teil, der aus einem Viel­fa­chen der ima­gi­nä­ren Zahl i besteht.  Die Zahl i ist die in den reel­len Zah­len nicht exis­tie­ren­de Wur­zel aus ‑1, also i=\sqrt{{-1}}.

Durch ihre zwei­di­men­sio­na­le Schreib­wei­se, z.B. z=2-3i ähneln sie in Vie­lem zwei­di­men­sio­na­len Vek­to­ren, so z.B. bei den ein­fa­chen Rechen­ge­set­zen:

\displaystyle \begin{array}{l}{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=({{a}_{1}}+{{b}_{1}}i)+({{a}_{2}}+{{b}_{2}}i)\\=({{a}_{1}}+{{a}_{2}})+({{b}_{1}}+{{b}_{2}})i\end{array}

Will man kom­ple­xe Zah­len ver­an­schau­li­chen, macht man das in der ein­fa­chen zwei­di­men­sio­na­len Gauß­schen Zah­len­ebe­ne, die mit einem gewöhn­li­chen Koor­di­na­ten­sys­tem eigent­lich iden­tisch ist, nur wer­den die Ach­sen nicht mit x und y, son­dern mit Re und Im bezeich­net. Dazu pas­send und wie­der ähn­lich wie bei Vek­to­ren ist der Betrag einer kom­ple­xen Zahl ihr Abstand zur Null:

\displaystyle \left| z \right|=\left| {a+bi} \right|=\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}

Gaußsche Zahlenebene

Das Wun­der­ba­re an den kom­ple­xen Zah­len ist, dass in ihnen die Lösung von Glei­chun­gen mög­lich ist, die in den reel­len Zah­len unmög­lich ist, z.B.:

\displaystyle {{x}^{2}}+9=0 ist ja in den reel­len Zah­len nicht lös­bar.

In den kom­ple­xen Zah­len fin­den wir leicht die bei­den Lösun­gen \displaystyle {{x}_{1}}=3i und \displaystyle {{x}_{2}}=-3i. Anmer­kung: Der Real­teil der bei­den Lösun­gen ist jeweils 0.

Auf­ga­be 1: Geschich­te und Rechen­re­geln

Die­se Auf­ga­be ist nur zur anfäng­li­chen Ver­traut­ma­chung gedacht. Jede Grup­pe bear­bei­tet die­se nicht sehr schwie­ri­ge Auf­ga­be und stellt sie kurz, aber vir­tu­os im Ple­num vor.

  1. Recher­chiert die Geschich­te der „Ent­ste­hung” der kom­ple­xen Zah­len und stellt die­se kurz dar.
  2. Fin­det her­aus, was die kon­ju­gier­te kom­ple­xe Zahl ist und was man mit ihr machen kann.
  3. Recher­chiert die Rechen­re­geln in den kom­ple­xen Zah­len zu Mul­ti­pli­ka­ti­on und Divi­si­on und begrün­det u.a. damit, wes­halb die kom­ple­xen Zah­len ein alge­brai­scher Kör­per sind.
  4. Stellt euch gegen­sei­tig ein paar weni­ge Auf­ga­ben zu Mul­ti­pli­ka­ti­on und Divi­si­on.

Am Ende wer­den nicht alle Auf­ga­ben tat­säch­lich gerech­net. Ich möch­te aber sehen, wie ihr Auf­ga­ben auf­stellt und sie prä­sen­tiert.

Auf­ga­be 2: Polarkoordinaten/​trigonometrische Dar­stel­lung

Dies ist eine klei­ne Ver­tie­fungs­auf­ga­be. Die Resul­ta­te möch­te ich auf einem vir­tu­os gestal­te­ten Blatt Papier in den Hän­den hal­ten.

  1. Recher­chiert, wie man kom­ple­xe Zah­len als Polar­ko­or­di­na­ten schrei­ben kann.
  2. Fin­det her­aus, wie man mit­hil­fe der Polar­ko­or­di­na­ten rela­tiv leicht die n‑te Potenz einer kom­ple­xen Zahl schrei­ben kann.
Auf­ga­be 3: Ein­heits­wur­zeln und die Euler­sche For­mel

Die­se Auf­ga­be sollt ihr als gan­zer Kurs lösen. Ent­schei­det selbst, wie ihr das macht. Hier muss nichts groß­ar­tig prä­sen­tiert wer­den, es kommt nur auf sach­li­che Kor­rekt­heit an. Ich möch­te sehen, wie ihr zusam­men­ar­bei­tet. Das Vor­ge­hen „XXXXX löst das für uns und gut ist” wäre also wenig erfolg­ver­spre­chend.

  1. Fin­det Gestalt, Nut­zen, geo­me­tri­sche Eigen­schaft und ger­ne noch mehr der so genann­ten Ein­heits­wur­zeln her­aus.
  2. Erklärt, woher die Euler­sche Glei­chung \displaystyle {{e}^{{\pi i}}}=-1 kommt.