Mathematik Q4

Grundkurs: Kreise und Kugeln (Stand: 2017)

Kreis Vektor irgendwoAls Fort­set­zung der Vek­tor­rech­nung befasst sich dieses The­ma mit Kreisen im zwei­di­men­sion­alen Raum, deren diversen Eigen­schaften und mit Lage­beziehun­gen zu Ger­aden. Dann geht es in den drei­di­men­sion­alen Raum und man betra­chtet die Eigen­schaften von Kugeln und unter­sucht die Lage­beziehun­gen zu Ger­aden, Ebe­nen und von Kugeln untere­inan­der.

 

PDFs zu Kreisen und Kugeln

Kreise und Kugeln GeoGebraAlle Angaben auf den Blät­tern sind prinzip­iell ohne Gewähr. Die Auf­gaben beziehen sich auf das Buch„Cornelsen Math­e­matik 12.2 LK” (Hes­sen) aus 2001.

Alle Blät­ter dür­fen nach Belieben herun­terge­laden und von Lehrkräften im Unter­richt benutzt wer­den, aber bitte mit Quel­lenangabe.

 

GeoGe­bra-Dateien (Ver­sion 5 notwendig):

Kreis­ma­n­ip­u­la­tor

Kugel- und Ebe­nen­ma­nip­u­la­tor

Aster­oiden-Ein­schlag

 

Leistungskurs: Lineare Abbildungen und Determinanten (Stand: 2016)

PDF zu Lin­earen Abbil­dun­gen und Deter­mi­nan­ten

»> Link zu ein­er GeoGe­bra-Datei von Horst Ben­ne­mann zu lin­earen Abbil­dun­gen

Komplexe Zahlen

Gaußsche Zahlenebene

Kom­plexe Zahlen \mathbb{C} sind die den reellen Zahlen am näch­sten über­ge­ord­nete Zahlen­menge, das heißt, sie enthal­ten alle reellen Zahlen (und natür­lich auch die ratio­nalen, die ganzen und natür­lichen). Im Gegen­satz zu den  anderen uns bish­er bekan­nten Zahlen sind sie nicht eindi­men­sion­al, son­dern zwei­di­men­sion­al.

Es gibt den Real­teil, der aus ein­er reellen Zahl beste­ht, und den Imag­inärteil, der aus einem Vielfachen der imag­inären Zahl i beste­ht.  Die Zahl i ist die in den reellen Zahlen nicht existierende Wurzel aus -1, also i=\sqrt{{-1}}.

Durch ihre zwei­di­men­sion­ale Schreib­weise, z.B. z=2-3i ähneln sie in Vielem zwei­di­men­sion­alen Vek­toren, so z.B. bei den ein­fachen Rechenge­set­zen:

\displaystyle \begin{array}{l}{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=({{a}_{1}}+{{b}_{1}}i)+({{a}_{2}}+{{b}_{2}}i)\\=({{a}_{1}}+{{a}_{2}})+({{b}_{1}}+{{b}_{2}})i\end{array}

Will man kom­plexe Zahlen ver­an­schaulichen, macht man das in der ein­fachen zwei­di­men­sion­alen Gaußschen Zahlenebene, die mit einem gewöhn­lichen Koor­di­naten­sys­tem eigentlich iden­tisch ist, nur wer­den die Achsen nicht mit x und y, son­dern mit Re und Im beze­ich­net. Dazu passend und wieder ähn­lich wie bei Vek­toren ist der Betrag ein­er kom­plex­en Zahl ihr Abstand zur Null:

\displaystyle \left| z \right|=\left| {a+bi} \right|=\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}

Gaußsche Zahlenebene

Das Wun­der­bare an den kom­plex­en Zahlen ist, dass in ihnen die Lösung von Gle­ichun­gen möglich ist, die in den reellen Zahlen unmöglich ist, z.B.:

\displaystyle {{x}^{2}}+9=0 ist ja in den reellen Zahlen nicht lös­bar.

In den kom­plex­en Zahlen find­en wir leicht die bei­den Lösun­gen \displaystyle {{x}_{1}}=3i und \displaystyle {{x}_{2}}=-3i. Anmerkung: Der Real­teil der bei­den Lösun­gen ist jew­eils 0.

Auf­gabe 1: Geschichte und Rechen­regeln

Diese Auf­gabe ist nur zur anfänglichen Ver­traut­machung gedacht. Jede Gruppe bear­beit­et diese nicht sehr schwierige Auf­gabe und stellt sie kurz, aber vir­tu­os im Plenum vor.

  1. Recher­chiert die Geschichte der „Entste­hung” der kom­plex­en Zahlen und stellt diese kurz dar.
  2. Find­et her­aus, was die kon­jugierte kom­plexe Zahl ist und was man mit ihr machen kann.
  3. Recher­chiert die Rechen­regeln in den kom­plex­en Zahlen zu Mul­ti­p­lika­tion und Divi­sion und begrün­det u.a. damit, weshalb die kom­plex­en Zahlen ein alge­brais­ch­er Kör­p­er sind.
  4. Stellt euch gegen­seit­ig ein paar wenige Auf­gaben zu Mul­ti­p­lika­tion und Divi­sion.

Am Ende wer­den nicht alle Auf­gaben tat­säch­lich gerech­net. Ich möchte aber sehen, wie ihr Auf­gaben auf­stellt und sie präsen­tiert.

Auf­gabe 2: Polarkoordinaten/​trigonometrische Darstel­lung

Dies ist eine kleine Ver­tiefungsauf­gabe. Die Resul­tate möchte ich auf einem vir­tu­os gestal­teten Blatt Papi­er in den Hän­den hal­ten.

  1. Recher­chiert, wie man kom­plexe Zahlen als Polarko­or­di­nat­en schreiben kann.
  2. Find­et her­aus, wie man mith­il­fe der Polarko­or­di­nat­en rel­a­tiv leicht die n-te Potenz ein­er kom­plex­en Zahl schreiben kann.
Auf­gabe 3: Ein­heitswurzeln und die Euler­sche Formel

Diese Auf­gabe sollt ihr als ganz­er Kurs lösen. Entschei­det selb­st, wie ihr das macht. Hier muss nichts großar­tig präsen­tiert wer­den, es kommt nur auf sach­liche Kor­rek­theit an. Ich möchte sehen, wie ihr zusam­me­nar­beit­et. Das Vorge­hen „XXXXX löst das für uns und gut ist” wäre also wenig erfol­gver­sprechend.

  1. Find­et Gestalt, Nutzen, geometrische Eigen­schaft und gerne noch mehr der so genan­nten Ein­heitswurzeln her­aus.
  2. Erk­lärt, woher die Euler­sche Gle­ichung \displaystyle {{e}^{{\pi i}}}=-1 kommt.